Théorie de la ruine et surplus d’une société d’assurance

Le concept de la théorie de la ruine (TR) se comprend comme étant la survenance d’un scénario défavorable pouvant conduire à l’impossibilité pour la société d’assurance de faire face à certains de ses engagements, aussi bien envers ses assurés que ses actionnaires, voire à devoir cesser son activité pour cause d’insolvabilité.

Le premier but de la théorie de la ruine a donc logiquement été de modéliser l’évolution de la richesse de la société par un processus stochastique, d’évaluer la probabilité de la ruine, soit la probabilité que le scénario traduisant un échec se réalise, et bien entendu d’estimer le niveau de réserve initiale pour prendre cette probabilité de ruine suffisamment faible.

Le modèle le plus connu ou classique de la TR représente le fonctionnement d’une société d’assurance de la manière suivante : On suppose que la société d’assurance encaisse des cotisations de ses assurés -appelés primes- de manière continue, à raison de c unités de comptes par unité de temps (exemple : 1000 DA par heure). Elle dispose d’une réserve initiale u pour absorber un éventuel excès de sinistralité et doit indemniser ses assurés pour les sinistres qui la concernent.

Le montant cumulé des sinistres au temps  t = 0  est représenté par le processus suivant :

B16_formule01

Avec la convention selon laquelle la somme est nulle si N(t) = 0, le nombre de sinistres survenus jusqu’au temps t, N(t), est dans ce modèle décrit par processus de Poisson de paramètre Λ > 0. Le montant du i ième sinistre est modélisé par une variable Wi à valeur dans R+ (nombre réel positif). Ils forment une suite de variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées, et indépendantes du processus de Poisson N(t).

R(t) = u + ct – S(t)

Le modèle de base, dit de Cramer-Lundberg, présente l'avantage d'être accessible à une large population : une compagnie d'assurance dispose d'un capital initial, qui augmente régulièrement grâce aux cotisations des assurés, mais diminue ponctuellement lors des remboursements de sinistres. La ruine intervient lorsque le montant des réserves tombe à 0 (dans l'exemple suivant à l'instant t4).

Réserves

L’analyse du résultat annuel par trimestre (issu des données trimestrielles), fait ressortir, également, une tendance régulière. C’est ainsi qu’il a été constaté que, pour chaque trimestre, la production de la branche augmente de manière uniforme d’un exercice à un autre, à savoir que le chiffre d’affaires de l’assurance automobile au premier trimestre de chaque exercice enregistre une augmentation  moyenne de 15,7%. Les taux moyens respectifs du 2ème, 3ème et 4ème trimestre donnent respectivement les résultats suivants : 17,2%, 16,2% et 13,8%.

Ce type d’analyse devra permettre de réaliser des prévisions pluriannuelles du chiffre d’affaires de la branche.

Quelques notes…

Savez-vous de combien de lettres est composé le mot actuariat ? Non ? Je vais vous le dire : Il est composé de 9 lettres. C’est bel et bien le 9, car ce dernier représente le plus grand nombre représenté par un seul chiffre…

Un actuaire tend toujours à maximiser la solvabilité et la durée de vie de l’entreprise. C’est, sans doute, pourquoi le 9 lui sied si bien !

Quel est le caractère qui revient le plus dans le mot actuariat ? Le caractère initial de l’alphabet, à savoir le « A ». C’est pourquoi, sans nul doute,  un actuaire doit prendre suffisamment de précaution pour évaluer les réserves initiales ou de démarrage de l’activité d’une entreprise d’assurance afin de lui éviter l’insolvabilité...

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